Devoir surveillé N° 2 Semestre 2

1. 1. Résoudre l'équation différentielle \((E):\; 4y''+4y'+y=0.\) (1 pt)
   2. Déterminer la fonction \(f\) solution de \((E)\) telle que \(f(0)=-1\) et \(f'(0)=\tfrac{3}{2}.\) (1 pt)
   3. Déduire la valeur de l'intégrale \(\displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\,dx.\) (1 pt)

1. 1. Vérifier que \(\dfrac{x}{x+3}=1-\dfrac{1}{x+3}\) pour tout réel \(x\neq-3\). (0.5 pt)
   2. En déduire que \(\displaystyle\int_{-2}^{-1}\dfrac{x}{x+3}\,dx = 1-3\ln(2).\) (1 pt)
   3. En utilisant une intégration par parties, calculer \(\displaystyle\int_{-2}^{-1}\ln(2x+6)\,dx.\) (1.5 pt)
2. Calculer les intégrales :
   • \(\displaystyle\int_{-1}^{1}|x|\,dx\)
   • \(\displaystyle\int_{1}^{\sqrt{2}} 2x(x^2-1)^{2025}\,dx\)
   • \(\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{1}{1+e^{-x}}\,dx\)
   (3 pt)
3. Soit \(f(x)=\dfrac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}\) et \(\mathcal{C}_f\) sa courbe.
   1. Vérifier que \(f(x)=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\). (1 pt)
   2. Calculer, en \(\mathrm{cm}^2\), l'aire du domaine limité par \(\mathcal{C}_f\), l'axe des abscisses et les droites \(x=0\) et \(x=\ln(3)\). (1 pt)
4. Soit \(g(x)=\dfrac{\ln(x)}{\sqrt{x}}\) et \(\mathcal{C}_g\) sa courbe.
   Calculer, en \(\mathrm{cm}^3\), le volume du solide de révolution engendré par la rotation de \(\mathcal{C}_g\) autour de l'axe des abscisses sur \([1,e]\). (1 pt)

On considère deux urnes \(U_1\) et \(U_2\).
\(U_1\) contient 3 boules noires numérotées \(1\) et 2 boules blanches numérotées \(2\).
\(U_2\) contient 4 boules numérotées \(1,1,2,2\).

On considère l'épreuve \((E)\) : « on tire une boule de \(U_1\) et une boule de \(U_2\) en même temps ».
On définit les événements :

• \(A\) : « obtenir deux boules portant des numéros différents ».
• \(B\) : « obtenir deux boules de couleurs différentes ».

1. Montrer que \(P(A)=\tfrac{1}{2}\) et calculer \(P(B)\). (2 pt)
2. Soit \(X\) la variable qui associe à chaque tirage la somme des numéros des deux boules tirées.
   1. Déterminer la loi de probabilité de \(X\). (2 pt)
   2. Calculer \(\mathbb{E}(X)\). (2 pt)
3. On répète l'épreuve \((E)\) cinq fois de suite en remettant chaque boule dans son urne avant chaque tirage.
   Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 3 fois deux boules de couleurs différentes ? (2 pt)