Devoir surveillé N° 1 Semestre 2

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé \((O, \vec{u}, \vec{v})\), on considère le point \(A\) d'affixe \(a=-1-i\sqrt{3}\), le point \(B\) d'affixe \(b=-1+i\sqrt{3}\) et la translation \(t\) de vecteur \(\overrightarrow{OA}\).

1. Prouver que l'affixe du point \(D\) image du point \(B\) par la translation \(t\) est \(d=-2\). (1.5 pt)
2. On considère la rotation \(R\) de centre \(D\) et d'angle \(\tfrac{2\pi}{3}\). Montrer que l'affixe du point \(C\) image du point \(B\) est \(c=-4\). (1.5 pt)
3. 1. Écrire le nombre \(\dfrac{b-c}{a-c}\) sous forme trigonométrique. (1 pt)
   2. En déduire que \(\left(\dfrac{b-c}{a-c}\right)^2=\dfrac{c-d}{b-d}\). (1 pt)
4. Soient \((\Gamma)\) le cercle de centre \(D\) et de rayon \(2\), \((\Gamma')\) le cercle de centre \(O\) et de rayon \(4\) et \(M\) un point d'affixe \(z\) appartenant aux deux cercles.
   1. Vérifier que \(|z+2|=2\). (1 pt)
   2. Prouver que \(z+\bar{z}=-8\) (en remarquant que \(|z|=4\)). (1 pt)
   3. En déduire que les cercles se coupent en un point unique. (1 pt)

Nous considérons la fonction \(f(x)=\ln\big(e^{2x}-e^x+1\big)\).

1. Déterminer \(D_f\), domaine de définition. (1 pt)
2. Calculer \(\lim_{x\to-\infty} f(x)\) puis interpréter géométriquement. (1.5 pt)
3. 1. Montrer que \(\forall x\in D_f,\quad f(x)=x+\ln(e^x-e^{-x}-1)\). (1 pt)
   2. Calculer \(\lim_{x\to+\infty} f(x)\). (1 pt)
   3. Montrer que la droite \((\Delta): y=2x\) est une asymptote à la courbe. (1 pt)
4. 1. Montrer que \(f'(x)=\dfrac{e^x(2e^x-1)}{e^{2x}-e^x+1}\). (2 pt)
   2. Étudier le signe de \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations. (1.5 pt)
5. Tracer \((\Delta)\) et la courbe \(\mathcal{C}_f\). (2 pt)

1. \(J=\int_{0}^{1} xe^{-x}\,dx=\dfrac{e-1}{e}\). (1 pt)
2. \(\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{2^x+3^x+4^x+5^x}{4}\right)^{\tfrac{1}{x}}=\sqrt[4]{120}\). (1 pt)