Problème d’analyse Devoir libre N2
(dérivation et étude des fonctions)
On considère la fonction ƒ définie sur ℝ* par :
ƒ(x) = − x + 2/x ; x ∈ ]−∞,0[∪ ]0,1[
ƒ(x) = 1 +x/2√x ; x ∈ [1,+∞[
(Cƒ) est la courbe représentative de la fonction ƒ dans un repère orthonormé (O, i ,j
- a) Montrer que ƒ est continue au point 1.
b) Calculer ƒ(−1) et ƒ(1).
2. a) Montrer que ƒ est dérivable à gauche de 1.
b) Donner l’équation de la demi tangente (∆1) à gauche de 1.
c) Etudier la dérivabilité de la fonction ƒ à droite de 1, et donner une interprétation géométrique du résultat obtenu.
3. a) Calculer limx→ −∞ƒ(x).
b) Montrer que (Cƒ) admet une asymptote oblique (D) et déterminer son équation.
c) Calculer limx→+∞ ƒ(x).
d) Etudier la nature de la branche infinie au voisinage de +∞.
e) Etudier la nature de la branche infinie au voisinage de 0.
4. a) Etudier les variations de ƒ sur chacun des intervalles ]−∞,0[ et ]0,1[.
b) Etudier les variations de ƒ sur l’intervalle [1,+∞[.
c) Dresser le tableau de variations de ƒ.
5. Donner l’équation de la tangente (∆2) au point −√2.
6. Tracer (D) , (∆1) , (∆2) et la courbe (Cƒ) dans le repère (O, i ,j).
7. Soit g la restriction de ƒ à l’intervalle ]−∞,0[
a) Montrer que g admet une bijection réciproque g−1 définie sur un intervalle J, qu’on déterminera.
b) Calculer g−1 pour tout x ∈ J.
8. Soit h la restriction de ƒ à l’intervalle [1,+∞[.
a) Montrer que h admet une bijection réciproque h−1 définie sur un intervalle J, qu’on déterminera.
b) Calculer h−1 (x) pour tout x ∈ J.
 On considère la fonction ƒ définie sur ℝ* par : ƒ (x) = − x + 2/…){kind=link}
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